Hur många riskorn blir
•
För ett tag sedan kom jag över några äldre exemplar av tidningen Lektyr från 1957. I en av tidningarna hittar jag “Veckans kuriosa” som handlar om siffror och tal.
Vi använder vanligtvis meter som enhet vid längdmätning. Vi har ett hum om hur lång en meter är. Likaså en kilometer och en mil.
Men i den astronomiska världen är milen alldeles för kort. Man använder i stället “ljusår” för att ange avstånd i rymden. Vi vet att ljuset färdas med en hastighet av cirka 300 000 kilometer per sekund.
Ett ljusår blir då en sträcka på 9,5 biljoner kilometer, som också kan skrivas 9 500 000 000 000 kilometer. Det är svårt för vår hjärna att greppa ett sådant avstånd.
Om solen helt plötsligt skulle slockna, som när man slår av en strömbrytare, skulle det ta drygt 8 minuter innan det blir svart på jorden.
Den galax som ligger längst från jorden, enligt vad forskarna för tillfället känner till, ligger 13 miljarder ljusår bort. 13 miljarder x 9,5 biljoner kilometer = Tanken svindlar.
Ett a
•
Geometriska talföljdens summa
Legenden säger att det i Indien fanns en listig uppfinnare av ett schackbräde. Han visade detta för kungen som imponerades av väldigt mycket och bad om att få köpa uppfinningen. Uppfinnaren funderade en liten stund och gav sedan ett förslag baserat på hans schackbräde. Han bad om att på första rutan få ett riskorn och sedan för varje ruta så fördubblas antalet riskorn. Kungen accepterade snabbt och glad över att han bara skulle behöva betala i lite ris. Detta är en klassisk liten historia med många variationer som kan ge flera goda pedagogiska applikationer. Nu ska vi fundera över om vi kan översätta riskornen till en matematisk formel. En geometrisk summa. Sedan ska vi titta på hur mycket ris det totalt blir och se om uppfinnaren eller kungen gjort bästa beslut. En geometrisk summa kommer vi ihåg skrivs som . Första talet är ju 1 och sedan fördubblas det. Alltså kvoten blir 2. Då får vi den geometriska talföljden . Vi kan ju räkna ut att på ruta åtta
•
Riskornen på schackbrädet
Riskornen på schackbrädet, även sädeskornen på schackbrädet, är ett matematiskt problem som visar den snabba ökningshastigheten vid exponentiell tillväxt:
- Om på ett schackbrädes första ruta placeras ett riskorn, på nästa ruta 2 riskorn och därefter placeras en fördubbling av antalet för varje ruta, det vill säga på den tredje rutan placeras 4, på den fjärde 8 etcetera, hur många riskorn kommer att ligga på schackbrädet när riskorn lagts på samtliga 64 rutor?
Det sökta antalet riskorn är
- 18 446 744 073 709 551 615 (cirka 18 triljoner)
Lösning
[redigera | redigera wikitext]Den mest rättframma metoden är att skriva summan
där är det totala antalet sädeskorn lagda på 64 rutor. Det är dock betydligt enklare att utgå från
ett samband som kan visas genom att utgå från S64 som en summa av tvåpotenser:
Multiplicera båda sidorna med 2:
Subtrahera den ursprungliga serien för s från var